clase # 2

solución de sistemas lineales por el  método de reducción de renglones  

            

      

Ej:  2x + 3y = 3
       x  +  2y = 5


puede observarse.  [ 2   3   | 3 ]
                              [ 1  -2   | 5 ]

para las variables x,y,z y t   en eso orden la matriz aumentada

EJEMPLO #1

[2   -1    3     4     5 ]
   1    3   -2     0     7
  -4   0    5     1    -3


correspondiente al sistema lineal 

2x - y + 3z + 4t =  5
x+ 3y - 2z + ot = 7
-4y + 0y + 5y + 1t = -3


EJEMPLO 2

reducir el sistema

3x-2y = 4
x+ 3y = 5

solución

[3  -2  /4 ]       R1 - R2  [1  3  / 5 ]    R2   3R1     [1  3   / 5 ]    R2 - 11  [ 1  3   / 5 ]
   1   3 / 5              →     3  -2 /  4         →        0 -11 /-11         →      0  1  /  1

→  R1 resta 3vcR2   [ 1  0  /  2 ]
                                             0  1  /  1

sistemas singulares 

Hay sistemas de ecuaciones lineales que tienen soluciones únicas .en cambio, otros sistemas de ecuaciones tienen más de una solución y otros sistemas que no tienen solución. Ental caso, se dice que los sistemas son singulares.
En general un sistema no tendrá ninguna solución si se obtiene un renglón en que todos los elementos sean cero excepto el último elemento del renglón.

A sí mismo, se dice que un sistema es consistente si al menos se tiene que un sistema o que es inconsistente si no tiene una solución.

Ejemplo:

inversas y determinantes 

Cuando se estudian las matrices hay operaciones que son elementales y de fundamental interés: 

1. determinantes 

Toda matriz A cuadrada de orden n lleva asociado un valor numérico llamado determinante de A y que denotaremos indistintamente por:
  

│A│ = det(A) 

Este número puede tener múltiples significados, y por resaltar alguno, es muy útil en el estudio de aspectos geométricos, como puede ser el cálculo de la ecuación de una recta que pasa por dos puntos.

Existen distintas formas de definir el determinante de una matriz A, si bien para algunos tamaños de la matriz es muy fácil. Así, para una matriz de tamaño 1 o 2, el determinante se obtiene. 

Matriz de orden 1 

  │a11│ = a11

matriz de orden 2    

 




   Propiedades de los determinantes.
El uso de determinantes simplifica de forma muy notable la resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Para ello, se aplican propiedades generales que permiten acometer la discusión y la resolución de tales sistemas mediante un procedimiento riguroso
En el manejo de determinantes se pueden establecer algunas propiedades que facilitan las operaciones de cálculo. Tales propiedades son:

1. Una matriz cuadrada con una fila o una columna en la que todos los elementos son nulos tiene un determinante igual a cero.

2. El determinante de una matriz con dos filas o dos columnas iguales es nulo.

3. Cuando dos filas o dos columnas de una matriz son proporcionales entre sí (una se puede obtener multiplicando la otra por un factor), su determinante es cero.

4. Al intercambiar dos filas o dos columnas de una matriz, su determinante cambia de signo.

5. Al multiplicar todos los elementos de una fila o una columna de una matriz por un número, el determinante de la matriz resultante es igual al de la original multiplicado por ese mismo número.

6. El determinante de una matriz triangular o una matriz diagonal es igual al producto de los elementos de su diagonal principal.

7. Cuando a una fila (o columna) de una matriz se le suma o resta una combinación lineal de otras filas (o columnas), el valor de su determinante no se altera.

Para el cálculo del determinante de una matriz es conveniente conocer alguna de las propiedades que los caracterizan, las cuales pueden facilitar a veces el cálculo.

1) El determinante de una matriz A es igual al de su traspuesta: Det(A) = Det (A¨t) 

2) El determinante de un producto de matrices es igual al producto de sus determinantes: 

丨A.B丨=丨A丨.丨B丨. 

3) Cuando una matriz tiene inversa, su determinante es distinto de cero; análogamente, si el determinante de una matriz no es nulo, dicha matriz tiene inversa.

4) El determinante de la inversa de una matriz es igual al inverso del determinante de la matriz.
 
丨A"-1丨=      __1__
                           丨A丨

5) La suma de los productos de los elementos de una fila o columna de una matriz por los adjuntos de otra fila o columna es siempre nula.

6) La matriz de los adjuntos de una matriz A dada de dimensión n tiene un determinante igual al determinante de A elevado a n-1.

2. inversas 

Este concepto sólo tiene sentido para matrices cuadradas con determinante distinto de cero, como expondremos a continuación. El cálculo de la inversa de una matriz lo utilizaremos en diversos campos, por ejemplo, para encontrar bases en un determinado espacio, o en otro tema totalmente distinto, para calcular la suma de una serie (mediante el cálculo de la inversa de Leontief). 

dada una matriz  A de orden  n   si existe una matriz, que notaremos  A*-1, que verifica: 

A x A*-1 = A*-1 x  A = I 

se  dice que A es invertible y que A-1 es la matriz inversa de A. Recordamos que con I notamos la matriz identidad de orden n.

Una matriz A cuadrada diremos que es singular si su determinante es cero; en caso contrario se dice que dicha matriz es regular (esto es, cuando el determinante es distinto de cero). Las matrices singulares no son inversibles, mientras que las regulares si lo son, por lo que hablar de matriz regular es lo mismo que hablar de matriz inversible.
Para obtener la matriz inversa de una matriz A inversible, existen varias formas entre ellas, destacamos la que utiliza la siguiente expresión:  

si bien, esta expresión, para matrices de ordenes elevados y valores pequeños, lleva asociada bastante errores y por ello hay que utilizar otro tipo de métodos. tales como el método de gauss, etc.

ejemplo 

Calcular, si es posible, la inversa de la siguiente matriz 

Veamos primero si la matriz es inversible, es decir, su determinante es distinto de cero:

Det(A) = 3, luego es inversible.

se calculan todos los adjuntos 

por lo que la inversa resulta 

Cuando nos piden una inversa el resultado siempre se puede comprobar, sin más que multiplicarla (por la derecha y por la izquierda) por la matriz dada en el ejercicio y comprobar que el resultado es la matriz identidad. En nuestro caso: